Conjugué d'une exponentielle complexe

P roposition

Pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\) , on a \(\overline{\text e^{i\theta}}=\text e^{-i\theta}=\dfrac{1}{\text e^{i\theta}}\) .

Démonstration

Soit \(\theta \in \mathbb{R}\) . On a \(\overline{\text e^{i\theta}}= \overline{\cos(\theta)+i\sin(\theta)}= \cos(\theta)-i\sin(\theta)\) .

De plus,  \(\text e^{-i\theta}=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)=\cos(\theta)-i\sin(\theta)\) car les points du cercle trigonométrique associés à \(\theta\) et \(-\theta\) sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

On a donc \(\overline{\text e^{i\theta}}=\text e^{-i\theta}\) .

Enfin, comme \(\left\vert \text e^{i\theta} \right\vert=1\) , on a \(\overline{\text e^{i\theta}}=\dfrac{1}{\text e^{i\theta}}\) .