Conjugué d'une exponentielle complexe

P roposition

Pour tout $\theta \in \mathbb{R}$ , on a $\overline{{\text{e}}^{i\theta }}={\text{e}}^{-i\theta }={\displaystyle \frac{1}{{\text{e}}^{i\theta }}}$ .

Démonstration

Soit $\theta \in \mathbb{R}$ . On a $\overline{{\text{e}}^{i\theta }}=\overline{\cos (\theta )+i\sin (\theta )}=\cos (\theta )-i\sin (\theta )$ .

De plus,  ${\text{e}}^{-i\theta }=\cos (-\theta )+i\sin (-\theta )=\cos (\theta )-i\sin (\theta )$ car les points du cercle trigonométrique associés à $\theta$ et $-\theta$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

On a donc $\overline{{\text{e}}^{i\theta }}={\text{e}}^{-i\theta }$ .

Enfin, comme $\left|{\text{e}}^{i\theta }\right|=1$ , on a $\overline{{\text{e}}^{i\theta }}={\displaystyle \frac{1}{{\text{e}}^{i\theta }}}$ .